양자역학 입문기 — [선형대수학] 02 선형변환과 행렬

변환(Transformation)이라는 시점

"변환"이란 본질적으로 함수(function) 다. 입력을 받아 출력을 내놓는다. 선형대수학에서의 변환은 벡터를 입력으로 받아 다른 벡터를 출력한다.

L : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m, \quad L(\vec{v}) = \vec{w}

L\!\left(\begin{bmatrix} 5 \\ 7 \end{bmatrix}\right) = \begin{bmatrix} 2 \\ -3 \end{bmatrix}

그런데 왜 "함수" 대신 "변환(transformation)" 이라는 단어를 사용하는가? 이 명칭은 입출력 관계에 대한 특정 시각화 방식을 내포하기 때문이다 — 벡터가 한 위치에서 다른 위치로 움직이는 것으로 받아들이는 것이다.

변환의 시각화 — 점의 이동

변환 전체를 이해할 때에는, 가능한 모든 입력 벡터가 그에 대응하는 출력 벡터로 움직이는 것을 상상하면 좋다.

01장에서 다룬 것처럼, 무한히 많은 벡터를 동시에 시각화할 때에는 화살표가 아닌 점으로 나타내는 것이 편리하다. 변환은 곧 공간 내 점이 다른 점으로 이동하는 것이 된다.

다음은 \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} (90° 반시계 회전)을 격자점에 적용한 모습이다. 아래 평면(z=0)이 변환 전, 위 평면(z=1)이 변환 후이며, 각 점의 이동 경로가 선으로 연결되어 있다.

2차원에서의 변환의 경우, 이 움직임은 무한한 격자 위의 모든 점에 대해 적용된다. 격자 전체가 일제히 움직이는 것을 상상해야 한다.

선형변환의 조건

그런데 선형대수학에서는 임의의 변환이 아닌, 선형변환(linear transformation) 만을 대상으로 한다. 시각적으로, 선형인 변환은 다음 두 성질을 만족한다.

1. 모든 직선은 휘지 않고 직선 상태를 유지한다
2. 원점은 제자리에 고정된다

이 두 조건은 곧 격자선이 변환 후에도 평행하고 균등한 간격을 유지한다는 것을 의미한다.

형식적으로는 다음 두 성질로 정의한다.

L(\vec{v} + \vec{w}) = L(\vec{v}) + L(\vec{w}) \quad \text{(가법성)}

L(c\vec{v}) = cL(\vec{v}) \quad \text{(동차성)}

다음은 선형인 변환과 선형이 아닌 변환의 비교다.

기저 벡터만 추적하면 된다

선형변환의 핵심 통찰: 변환 전체를 기술하려면 기저 벡터의 도달점만 알면 충분하다.

왜 그런가? 임의의 벡터 \vec{v}는 기저 벡터의 선형 결합이다.

\vec{v} = a\hat{i} + b\hat{j}

선형성에 의해, 변환된 벡터는 변환된 기저 벡터의 같은 선형 결합이 된다.

L(\vec{v}) = aL(\hat{i}) + bL(\hat{j})

따라서 L(\hat{i})와 L(\hat{j}), 이 두 벡터만 알면 공간 내 모든 벡터의 변환 결과를 계산할 수 있다.

예시: 구체적인 변환

\hat{i}가 (1, -2)로, \hat{j}가 (3, 0)으로 변환되는 경우를 살펴보자.

\vec{v} = -1\hat{i} + 2\hat{j}의 변환 결과를 계산하면:

L(\vec{v}) = -1 \cdot L(\hat{i}) + 2 \cdot L(\hat{j}) = -1\begin{bmatrix} 1 \\ -2 \end{bmatrix} + 2\begin{bmatrix} 3 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 + 6 \\ 2 + 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 \\ 2 \end{bmatrix}

기저 벡터의 변환 결과 (1, -2)와 (3, 0)만으로, 임의의 벡터에 대한 변환을 완전히 기술할 수 있다.

행렬 — 선형변환의 수치적 표현

위의 계산을 일반화하자. 입력 벡터 \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}에 대해:

L\!\left(\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}\right) = x \cdot L(\hat{i}) + y \cdot L(\hat{j}) = x\begin{bmatrix} 1 \\ -2 \end{bmatrix} + y\begin{bmatrix} 3 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1x + 3y \\ -2x + 0y \end{bmatrix}

이 변환은 네 개의 숫자 1, 3, -2, 0으로 완벽히 기술된다. 이 숫자들을 2 \times 2 격자로 묶은 것이 행렬(matrix) 이다.

A = \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ -2 & 0 \end{bmatrix}

• 첫 번째 열 \begin{bmatrix} 1 \\ -2 \end{bmatrix} — \hat{i}의 도달점 L(\hat{i})
• 두 번째 열 \begin{bmatrix} 3 \\ 0 \end{bmatrix} — \hat{j}의 도달점 L(\hat{j})

행렬의 각 열(column)은 변환된 기저 벡터다.

행렬-벡터 곱셈

행렬 A와 벡터 \vec{v}의 곱은 다음과 같이 정의된다.

A\vec{v} = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = x\begin{bmatrix} a \\ c \end{bmatrix} + y\begin{bmatrix} b \\ d \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} ax + by \\ cx + dy \end{bmatrix}

이것은 단순한 기계적 연산이 아니다. 그 기하학적 의미는 다음과 같다.

행렬-벡터 곱셈은 선형변환을 적용하는 것이다.

벡터 \vec{v}의 성분 x, y는 "기저 벡터에 대한 가중치"이며, 행렬은 그 기저 벡터가 변환 후 어디로 가는지를 기록한 것이다.

선형변환의 다양한 예시

회전 (90° 반시계)

\hat{i} = (1, 0) \to (0, 1), \hat{j} = (0, 1) \to (-1, 0)

R_{90°} = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}

전단 (Shear)

\hat{i}는 고정, \hat{j}만 기울어진다.

S = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}

여기서 \vec{v} = (1, 3)의 변환 결과는:

S\begin{bmatrix} 1 \\ 3 \end{bmatrix} = 1\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} + 3\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 \\ 3 \end{bmatrix}

스케일링

D = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{bmatrix}

x축 방향으로 2배, y축 방향으로 3배 늘린다.

열이 선형 종속인 경우 — 차원 축소

행렬의 두 열 벡터가 선형 종속(linearly dependent) 이면 어떻게 되는가?

M = \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 4 & -2 \end{bmatrix}

두 열 \begin{bmatrix} 2 \\ 4 \end{bmatrix}과 \begin{bmatrix} -1 \\ -2 \end{bmatrix}는 평행하다 — 하나가 다른 하나의 스칼라 배다.

두 기저 벡터가 같은 직선 위로 도달하므로, \mathbb{R}^2 전체가 하나의 직선으로 압축된다. 2차원 공간이 1차원으로 찌그러지는 것이다.

이는 01장에서 다룬 생성 공간의 논의와 정확히 대응한다 — L(\hat{i})와 L(\hat{j})가 선형 종속이면, \text{span}(L(\hat{i}), L(\hat{j}))는 \mathbb{R}^2가 아닌 직선에 불과하다.

요약

참고자료: 3Blue1Brown — 선형대수학의 본질

학습 중인 내용을 정리한 글이므로, 용어 선택이나 설명의 전달이 부정확할 수 있다.