양자역학 입문기 — [선형대수학] 01 벡터 공간의 기초

벡터의 세 가지 정의

벡터라는 대상은 분야에 따라 서로 다른 방식으로 정의된다.

물리학 — 크기(magnitude)와 방향(direction)을 갖는 유향 선분
컴퓨터 과학 — 순서를 가진 스칼라의 유한 열(ordered tuple)
수학(추상대수학) — 벡터 공간의 공리를 만족하는 원소

기하학적 직관을 먼저 잡는 것이 유리하다. 좌표계 위에서 원점을 시점으로 갖는 유향 선분으로 출발한다.

type: vector2d title: 2차원 벡터 x: -1, 5 y: -1, 5 vec: 2, 3 | | \vec{v} = (2, 3) vec: 1, 2 | | \vec{w} = (1, 2)

이후 이를 성분 표현(component representation)으로 옮긴다. 성분 표현은 벡터의 덧셈과 스칼라 곱셈이라는 두 기본 연산에 대한 대수적 토대를 제공한다.

$\vec{v} = \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix}, \quad \vec{w} = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}$

스칼라 곱셈

스칼라 곱셈(scalar multiplication)은 벡터의 방향을 보존(또는 반전)하면서 크기를 신축(scaling)하는 연산이다. 이때 곱해지는 실수를 스칼라(scalar) 라 한다.

$c \cdot \vec{v} = c \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} cv_1 \\ cv_2 \end{bmatrix}$

type: vector2d title: 스칼라 곱셈 x: -3, 5 y: -4, 7 vec: 2, 3 | | \vec{v} vec: 4, 6 | | 2\vec{v} vec: -2, -3 | | -\vec{v}

$c = 2$ — 동일 방향, 크기 2배
$c = -1$ — 방향 반전, 크기 보존
$c = 0.5$ — 동일 방향, 크기 $\frac{1}{2}$ 배

선형대수학 전반의 논의는 이 두 기본 연산 — 벡터 덧셈과 스칼라 곱셈 — 을 중심으로 전개된다.

기저 벡터(Basis Vectors)

$\mathbb{R}^2$ 의 표준 기저(standard basis)는 다음 두 단위 벡터로 구성된다.

$\hat{i} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \quad \hat{j} = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}$

$\hat{i}$ — $x$ 축 방향의 단위 벡터
$\hat{j}$ — $y$ 축 방향의 단위 벡터

type: vector2d title: 기저 벡터와 선형 결합 x: -1, 4 y: -1, 4 vec: 1, 0 | | \hat{i} vec: 0, 1 | | \hat{j} vec: 2, 3 | | \vec{v} = 2\hat{i} + 3\hat{j}

임의의 벡터 $\vec{v}$ 의 좌표 성분 $(a, b)$ 는 곧 기저 벡터에 대한 스칼라 계수를 의미한다.

$\vec{v} = a\hat{i} + b\hat{j}$

기저를 교체하면 동일한 좌표계가 아닌 새로운 좌표계가 정의된다. 공간상 동일한 점이라 하더라도, 기저가 달라지면 그 성분 표현은 달라진다. 즉, 좌표 표현은 기저 선택에 암묵적으로 의존한다.

선형 결합(Linear Combination)

두 벡터 $\vec{v}$ , $\vec{w}$ 에 각각 스칼라를 곱하여 합산하는 연산을 선형 결합이라 한다.

$a\vec{v} + b\vec{w}$

"선형(linear)"이라는 명칭의 유래: 두 스칼라 중 하나를 고정하고 나머지를 $\mathbb{R}$ 전체에서 변화시키면, 결과 벡터의 종점은 직선(line)을 형성한다.

생성 공간(Span)

두 스칼라 $a$ , $b$ 모두를 $\mathbb{R}$ 전체에서 변화시킬 때, 도달 가능한 모든 벡터의 집합을 $\vec{v}$ 와 $\vec{w}$ 의 생성 공간(span) 이라 정의한다.

$\text{span}(\vec{v}, \vec{w}) = \{ a\vec{v} + b\vec{w} \mid a, b \in \mathbb{R} \}$

생성 공간의 구조는 입력 벡터의 관계에 따라 결정된다.

조건	$\text{span}(\vec{v}, \vec{w})$
$\vec{v}$ 와 $\vec{w}$ 가 선형 독립	$\mathbb{R}^2$ 전체
$\vec{v} \parallel \vec{w}$ (평행)	원점을 지나는 직선
$\vec{v} = \vec{w} = \vec{0}$	$\{\vec{0}\}$

화살표와 점 — 벡터를 바라보는 두 가지 시선

벡터를 시각화하는 방법은 맥락에 따라 달라진다. 일반적으로 다음과 같이 구분하면 편리하다.

개별 벡터는 화살표(유향 선분)로, 벡터의 모음(집합)은 점으로 생각한다.

화살표로서의 벡터

벡터 하나를 다룰 때는 원점에서 출발하는 화살표가 가장 직관적이다. 방향과 크기가 한눈에 보인다.

type: vector2d title: 개별 벡터 — 화살표 x: -1, 5 y: -1, 5 vec: 3, 2 | | \vec{v} = (3, 2)

점으로서의 벡터

그런데 벡터가 무한히 많아지면 어떨까? 예를 들어 $\vec{v} = (1, 2)$ 의 모든 스칼라 배 $\{t\vec{v} \mid t \in \mathbb{R}\}$ 를 화살표로 그리면, 원점에서 뻗어나가는 화살표가 겹쳐 시각적으로 혼잡해진다.

type: vector2d title: 많은 벡터를 화살표로 그리면 — 혼잡 x: -5, 5 y: -5, 5 vec: 0.5, 1 | | 0.5\vec{v} vec: 1, 2 | | \vec{v} vec: 1.5, 3 | | 1.5\vec{v} vec: 2, 4 | | 2\vec{v} vec: -0.5, -1 | | -0.5\vec{v} vec: -1, -2 | | -\vec{v} vec: -1.5, -3 | | -1.5\vec{v} vec: -2, -4 | | -2\vec{v}

이때 각 벡터를 화살표 대신 그 종점(endpoint) 에 찍는 점 하나로 대체하면, 이 점들이 모여 하나의 기하학적 형태를 이루게 된다.

type: point2d title: 같은 벡터들을 점으로 표현하면 — 직선 x: -5, 5 y: -5, 5 point: -2, -4 | | -2\vec{v} point: -1.5, -3 | | -1.5\vec{v} point: -1, -2 | | -\vec{v} point: -0.5, -1 | | -0.5\vec{v} point: 0, 0 | | \vec{0} point: 0.5, 1 | | 0.5\vec{v} point: 1, 2 | | \vec{v} point: 1.5, 3 | | 1.5\vec{v} point: 2, 4 | | 2\vec{v}

화살표가 사라지고 점만 남으니, 이 벡터들이 원점을 지나는 하나의 직선 위에 놓여 있다는 구조가 명확해진다.

이 관점을 일반화하면 다음과 같다.

벡터의 집합	점의 자취
벡터 하나 $\vec{v}$	점 하나
$\{t\vec{v} \mid t \in \mathbb{R}\}$	원점을 지나는 직선
$\{a\vec{v} + b\vec{w} \mid a, b \in \mathbb{R}\}$ (선형 독립)	원점을 포함하는 평면

따라서 생성 공간(span)을 시각화할 때에는, 개별 화살표를 그리는 것이 아니라 벡터의 종점이 이루는 기하학적 대상(점, 직선, 평면)을 떠올리는 것이 자연스럽다.

3차원 공간으로의 확장

$\mathbb{R}^3$ 에서 두 벡터의 생성 공간은 원점을 포함하는 평면이다. 여기에 제3의 벡터 $\vec{u}$ 를 도입하면 다음과 같다.

type: vector3d title: 3차원 벡터 vec: 2, 1, 0 | | \vec{v} vec: 0, 2, 1 | | \vec{w} vec: 1, 0, 2 | | \vec{u}

$a\vec{v} + b\vec{w} + c\vec{u}$

$\vec{u} \in \text{span}(\vec{v}, \vec{w})$ 이면 — 생성 공간은 여전히 평면에 국한된다
$\vec{u} \notin \text{span}(\vec{v}, \vec{w})$ 이면 — 생성 공간이 $\mathbb{R}^3$ 전체로 확장된다

선형 종속과 선형 독립

벡터 집합 $\{\vec{v}_1, \dots, \vec{v}_n\}$ 에서 어떤 벡터가 나머지의 선형 결합으로 표현 가능하면, 해당 집합은 선형 종속(linearly dependent) 이다.

반대로, 어떠한 벡터도 나머지의 선형 결합으로 표현할 수 없으면, 해당 집합은 선형 독립(linearly independent) 이다.

이로부터 벡터 공간의 기저(basis) 가 다음과 같이 정의된다.

벡터 공간 전체를 생성(span) 하는 선형 독립인 벡터의 집합

요약

개념	정의
벡터	유향 선분 또는 순서 스칼라 열; 벡터 공간의 원소
스칼라	벡터에 곱해지는 실수
기저 벡터	좌표계를 정의하는 단위 벡터 $\hat{i}$ , $\hat{j}$
선형 결합	$\sum_i c_i \vec{v}_i$ 형태의 연산
생성 공간(span)	주어진 벡터들의 모든 선형 결합의 집합
선형 독립	자명하지 않은(nontrivial) 선형 결합으로 $\vec{0}$ 을 만들 수 없는 조건
기저(basis)	공간을 생성하는 극대 선형 독립 집합

참고자료: 3Blue1Brown — 선형대수학의 본질

학습 중인 내용을 정리한 글이므로, 용어 선택이나 설명의 전달이 부정확할 수 있다.