양자역학 입문기 — [선형대수학] 03 선형변환의 합성과 행렬의 곱셈

선형변환의 합성(Composition)

02장에서 하나의 선형변환은 하나의 행렬로 기술된다는 사실을 확인했다. 그렇다면 두 변환을 순서대로 적용하면 어떻게 되는가?

예를 들어, 다음 두 변환을 순차적으로 적용하는 상황을 생각하자.

1. 90° 반시계 회전 — R = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}
2. 전단(shear) — S = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}

벡터 \vec{v}에 회전을 먼저 적용한 뒤 전단을 적용하면:

S(R(\vec{v}))

이 전체 과정의 결과는 그 자체로 하나의 새로운 선형변환이 된다. 이를 R과 S의 합성(composition) 이라 하며, 결과 역시 하나의 행렬로 표현할 수 있다.

기저 벡터를 따라가기

02장의 핵심 원리를 다시 적용한다 — 기저 벡터의 도달점만 추적하면 변환 전체를 기술할 수 있다.

1단계: 회전 적용

표준 기저 \hat{i}, \hat{j}에 회전 R을 적용한다.

\hat{i} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} \xrightarrow{R} \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}, \quad \hat{j} = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} \xrightarrow{R} \begin{bmatrix} -1 \\ 0 \end{bmatrix}

2단계: 전단 적용

1단계의 결과에 전단 S를 적용한다.

\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} \xrightarrow{S} 0\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} + 1\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}

\begin{bmatrix} -1 \\ 0 \end{bmatrix} \xrightarrow{S} -1\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} + 0\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 \\ 0 \end{bmatrix}

합성 결과

최종 도달점으로부터 합성 행렬을 구성한다.

SR = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}

첫 번째 열이 \hat{i}의 최종 도달점 (1, 1), 두 번째 열이 \hat{j}의 최종 도달점 (-1, 0)이다.

행렬의 곱셈

위의 과정을 식으로 쓰면:

S \cdot R = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}

이것이 행렬의 곱셈(matrix multiplication) 이다. 두 행렬의 곱은 두 선형변환의 합성을 나타낸다.

M_2 M_1은 "먼저 M_1을 적용하고, 그 다음 M_2를 적용한다"는 의미다. 오른쪽에서 왼쪽으로 읽는다.

열 단위로 생각하기

합성의 결과를 구하는 방법은 명확하다. M_1의 각 열 벡터에 M_2를 적용하면 된다.

• 결과의 첫째 열: M_2 \cdot (M_1\text{의 첫째 열}) — \hat{i}가 M_1을 거친 뒤 M_2를 통과한 결과
• 결과의 둘째 열: M_2 \cdot (M_1\text{의 둘째 열}) — \hat{j}가 M_1을 거친 뒤 M_2를 통과한 결과

일반 공식

\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}\begin{bmatrix} e & f \\ g & h \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} ae + bg & af + bh \\ ce + dg & cf + dh \end{bmatrix}

이 공식을 기계적으로 암기할 수도 있지만, 기하학적 의미를 함께 기억하는 것이 훨씬 강력하다 — 오른쪽 행렬의 각 열 벡터에 왼쪽 행렬(변환)을 적용하는 것이다.

또 다른 예시

M_2 = \begin{bmatrix} 0 & 2 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}, \quad M_1 = \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}

\hat{i}: M_1에 의해 (1, 1)로 이동 → M_2 적용:

M_2 \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} = 1\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} + 1\begin{bmatrix} 2 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix}

\hat{j}: M_1에 의해 (-2, 0)으로 이동 → M_2 적용:

M_2 \begin{bmatrix} -2 \\ 0 \end{bmatrix} = -2\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} + 0\begin{bmatrix} 2 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ -2 \end{bmatrix}

M_2 M_1 = \begin{bmatrix} 0 & 2 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 1 & -2 \end{bmatrix}

교환법칙은 성립하지 않는다

행렬 곱셈에서 순서는 중요하다. 일반적으로:

M_1 M_2 \neq M_2 M_1

기하학적으로 생각하면 이는 자명하다. "회전한 뒤 전단"과 "전단한 뒤 회전"은 전혀 다른 변환이다. 실제로 계산해 보자.

SR = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}

RS = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}

같은 벡터 \vec{v} = (1, 1)에 대해 두 합성의 결과가 어떻게 달라지는지 확인한다.

SR\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}, \quad RS\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 \\ 2 \end{bmatrix}

동일한 입력 벡터가 적용 순서에 따라 완전히 다른 위치에 도달한다. 숫자 연산에서의 3 \times 5 = 5 \times 3과는 근본적으로 다르다.

더 넓은 시각에서 보면, 격자점 전체의 변환 결과도 달라진다. 다음은 (-2, -2)부터 (2, 2)까지의 격자점을 SR과 RS로 각각 변환한 결과다.

같은 격자점 집합이 적용 순서에 따라 전혀 다른 패턴으로 변환된다.

결합법칙은 성립한다

반면, 결합법칙(associativity) 은 성립한다.

(AB)C = A(BC)

세 변환 A, B, C를 순서대로 적용하는 상황을 생각하자.

• (AB)C: "C를 적용한 뒤, B 다음 A의 합성을 적용"
• A(BC): "C 다음 B의 합성을 적용한 뒤, A를 적용"

어느 쪽이든 실제로 벡터에 가해지는 변환은 C \to B \to A 순서의 연속 적용이다. 묶는 방식만 다를 뿐, 최종 결과는 동일하다.

요약

참고자료: 3Blue1Brown — 선형대수학의 본질

학습 중인 내용을 정리한 글이므로, 용어 선택이나 설명의 전달이 부정확할 수 있다.